\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}

\begin{document}

\section{Vektorové pole}

Integrální rovnici na hranici oblasti lze formulovat nejen  
pro skalární pole $G$, ale i pro vektorové pole ${\bf grad}\; G$.
V mechanice tekutin má gradient skalárního pole potenciálu
význam rychlosti proudění. Rozbor vektorového pole
rychlosti je základem řady inženýrských metod.
Výhodou jsou názorné postupy využívající superpozici
proudových polí vhodně zvolených singularit. Často mají
poloempirický základ, lze je však obvykle pokládat
za zvláštní případy obecné skupiny úloh okrajových prvků.

\subsection{Prostorová úloha}

Skalární funkce $G$ je v bodě uvnitř oblasti $V$ ohraničené plochou
$S$ s vnější normálou ${\bf n}$ určna vztahem
$$4 \pi G =  \int_S \left( {1 \over r} {\partial G \over \partial n} + 
G {{\bf r} \circ {\bf n} \over r^3} \right) \; \mathrm{d}S - 
\int_V {1 \over r} \Delta G \; \mathrm{d}V. $$

Pro zjednodušení zápisu zavedeme pro vliv jednoduché vrstvy a
dvojvrstvy označení
$$ q_1({\bf r}) = {1 \over r}, $$
$$ q_2({\bf r}) = {{\bf r} \circ {\bf n} \over r^3}. $$
Gradient skalární funkce $G$ je pak dán vztahem
$$4 \pi \; {\bf grad}\; G =  \int_S \left( {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;
{\partial G \over \partial n} + 
G \; {\bf grad}\; q_2({\bf r}) \right) \; \mathrm{d}S - 
\int_V  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\; \Delta G \; \mathrm{d}V. $$
Hodnoty ${\bf grad}\; q_1({\bf r})$ a ${\bf grad}\; q_1({\bf r})$
přitom odpovídají změně polohy bodu $r=0$.

Obdobně jako se při průchodu hranicí skokově mění potenciál dvojvrstvy,
dochází zde ke skokové změně gradientu jednoduché vrstvy. Pro bod na hranici
$S$ platí
$$ \int_S {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;
{\partial G \over \partial n} =
\pm 2 \pi\;{\bf n}_0\; {\partial G \over \partial n}_{(r=0) \in S} + 
\int_{S(r\neq 0)}  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;
{\partial G \over \partial n}\;  \mathrm{d}S,$$
kde znaménko plus přísluší bodu v nekonečně malé vzdálenosti od hranice
uvnitř oblasti $V$ a znaménko mínus odpovídajícímu bodu vně oblasti.
Dosazením dostaneme pro bod na hranici uvnitř oblasti
$$4 \pi \; {\bf grad}\; G_{(r=0) \in S} - 2 \pi\;{\bf n}_0\; 
{\partial G \over \partial n}_{(r=0) \in S}  = $$
$$ \int_{S(r\neq 0)}  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;
{\partial G \over \partial n}\;  \mathrm{d}S +
\int_S G \; {\bf grad}\; q_2({\bf r}) \; \mathrm{d}S - 
\int_V  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\; \Delta G \; \mathrm{d}V. $$
Obě strany rovnice násobíme skalárně vektorem normály v kontrolním bodě 
${\bf n}_0$. Uvážíme-li že platí 
$$  {\bf grad}\;G_{(r=0) \in S} \circ {\bf n}_0= 
{\partial G \over \partial n}_{(r=0) \in S}.$$
dostaneme jako výsledek skalární integrální vztah
$$2 \pi \; {\partial G \over \partial n}_{(r=0) \in S}  = 
\int_{S(r\neq 0)}  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;\circ\; {\bf n}_0\;
{\partial G \over \partial n}\;  \mathrm{d}S + $$
$$ \int_S G \; {\bf grad}\; q_2({\bf r})\;\circ\; {\bf n}_0 \; \mathrm{d}S - 
\int_V  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;\circ\; {\bf n}_0\;
\Delta G \; \mathrm{d}V. $$

\subsection{Rovinná úloha}
V rovinné úloze postupujeme zcela analogicky. Pro vliv jednoduché
vrstvy a dvojvrstvy zavedeme označení
$$ q_1({\bf r}) = \ln {1 \over r}, $$
$$ q_2({\bf r}) = {{\bf r} \circ {\bf n} \over r^2}. $$
Skokové změně gradientu jednoduché vrstvy na hranici odpovídá v rovinném
případě konstanta $\pm \pi$. Výsledkem je integrální vztah 
$$ \pi \; {\partial G \over \partial n}_{(r=0) \in S}  = 
\int_{S(r\neq 0)}  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;\circ\; {\bf n}_0\;
{\partial G \over \partial n}\;  \mathrm{d}S + $$
$$\int_S G \; {\bf grad}\; q_2({\bf r})\;\circ\; {\bf n}_0 \; \mathrm{d}S - 
\int_V  {\bf grad}\; q_1({\bf r})\;\circ\; {\bf n}_0\;
\Delta G \; \mathrm{d}V. $$

\subsection{Vírová vlákna a vírové plochy}
V dosud uvedených vztazích vystupují singularity typu propadů nebo zdrojů
a dipóly. Vliv dipólů může být transformován na vliv vírových vláken
a vírových ploch. Jejich použití může výrazně ovlivnit tvorbu
algoritmů řešení. Zjednodušení je významné zvláště u geometricky
komplikovaných prostorových úloh.

Metody využívající vírové singularity lze považovat za klasické metody
mechaniky tekutin. Byly běžně používány v inženýrské praxi již před
nástupem výkonné výpočetní techniky. Dlouholeté zkušenosti 
umožnily v šedesátých letech tohoto století, kdy počítače
začaly být obvyklým nástrojem pro řešení úloh mechaniky kontinua,
jejich prudký rozvoj pokračující až do současnosti. 
Řada problémů vede dokonce k úloham, kde není
třeba zavádět vliv zdrojů a propadů. Typickou hranicí jsou nepropustné
stěny pevných těles obtékaných proudem tekutiny. Pro tyto případy
lze vypracovat vysoce účinné univerzální algoritmy \footnote{Zdánlivá
fyzikální \uv{průhlednost} vírových metod v sobě ovšem skrývá jistá
nebezpečí. Lze zaznamenat řadu pokusů o jejich použití v případech,
kdy je nezbytné v úloze uvážit spolu s víry i zdroje a propady. Nebezpečí 
chybné formulace bývá podceněno, neboť řešení může vést k na
první pohled \uv{fyzikálně interpretovatelným} výsledkům.}.

Stručně uvedeme vybrané pojmy a výsledky řešení, které budeme dále
používat. Bližší podrobnosti a odvození lze nalézt ve specializovaných
publikacích, např.\cite{lojcjanskij},\cite{batchelor}.
\begin{figure}
\hskip 40mm %\epsfxsize 40mm \epsffile{cz1250b.eps}
\caption{Vírové vlákno v rovinné úloze.} 
\label{rovvir}
\end{figure}
Sledujme v rovině bodový vír, přesněji nekonečné vírové vlákno kolmé k
této rovině, v poloze určené vektorem {\bf r}. Vlákno má cirkulaci
$\Gamma$, kterou pokládáme za kladnou, pokud vír rotuje proti směru
hodinových ručiček ( obr.~\ref{rovvir} ). V bodě $r=0$ vlákno indukuje
rychlost
$$ {\bf v} = {\Gamma \over 2 \pi}\; {\bf g}({\bf r}),$$
$$ {\bf g}({\bf r})= { {\bf r} \times {\bf k} \over r^2 },$$
kde ${\bf k}$ je jednotkový vektor ve směru osy $z$.

Potenciálem bodového víru je mnohoznačná funkce obsahující aditivní konstantu
která je násobkem cirkulace $\Gamma$. Předpokládáme-li, že je potenciál 
roven nule v nekonečně vzdáleném bodě osy $x$ ( $x \to \infty,$ $y=0$ ),
můžeme napsat
$$ \varphi \; ({\bf r}) = {\Gamma \over 2 \pi }
\arctan \left( { y \over x } + m \pi \right) + n \Gamma, $$
$$ m = \left \{ \matrix{
\hfill 0 & \mathrm{pro} & x>0, \hfill \cr
\hfill 1 & \mathrm{pro} & x<0, y>0,  \cr
-1 & \mathrm{pro} & x<0, y<0, \cr
}\right .$$
kde $n$ je libovolné celé číslo.
\begin{figure}
\hskip 35mm %\epsfxsize 50mm \epsffile{cz1250a.eps}
\caption{Biot--Savartův zákon.} 
\label{bisav}
\end{figure}
V prostoru je rychlost indukováná elementárním úsekem vírového vlákna
dána Biott--Savartovým zákonem ( obr.~\ref{bisav} )
$$ \mathrm{d} {\bf v} = {\Gamma \over 4 \pi }\;
{ {\bf r} \times \mathrm{d}{\bf r} / \mathrm{d} s \over r^2 }\; \mathrm{d}s. $$
Odpovídající vztah pro potenciál neexistuje. Pole rychlosti indukované
obecným úsekem vírového vlákna nemá potenciál. Potenciální je však proudění
indukované uzavřeným vírovým vláknem, vláknem sahajícím do nekonečna, případně
končícím na hranici oblasti. 
\begin{figure}
\hskip 35mm %\epsfxsize 50mm \epsffile{cz1250c.eps}
\caption{Vírová plocha.} 
\label{virplo}
\end{figure}
Víry rozložené spojitě na ploše  $S$ ( obr.~\ref{virplo} ) indukují rychlost 
$$ {\bf v}  = 
{1 \over 4 \pi } \int_S  
{ {\bf r} \times {\bf k} \over r^2 }\; \mathrm{d}S.$$
Vektorová veličina ${\bf k}$ označuje místní intenzitu vírů 
vázanou s cirkulací $\Gamma$ vztahem
$\Gamma \; \mathrm{d} s = k \; \mathrm{d} S$.
Leží-li bod $r=0$ na vírové ploše, je třeba uvážit skokovou změnu 
tečné složky rychlosti při průchodu plochou. Platí
$$ {\bf v}_{(r=0) \in S}  = \pm \; {1 \over 2 }\; {\bf n}_0 \times {\bf k}_{(r=0)} +
{1 \over 4 \pi } \int_{S(r\neq 0)} \!\!\! 
{ {\bf r} \times {\bf k} \over r^2 }\; \mathrm{d}S.$$
Znaménko plus přitom odpovídá vnitřní straně plochy \footnote{Zachováváme konvenci
\uv{vnější} normály, i když vírová plocha nemusí být typickou hranicí tělesa
nebo vyšetřovaného objemu.}. Pro bod na vírové je integrál singulární
\footnote{ Singularita má charakter $\int 1 / x \; \mathrm{d}x .$}. 
Význam má jeho hlavní hodnota v Cauchyho smyslu.

 
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{lojcjanskij}
Lojcjanskij,L.G.:Mechanika židkosti i gaza, Moskva 1970.
\bibitem{batchelor}
Batchelor,G.K.:An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge 1970.
\end{thebibliography}
\end{document}
