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\begin{document}
\chapter{Analyse de cohérence}

\section{Identification dans le domaine temporel}

Nous supposons le système à identifier caractérisé par un modèle de la
forme:
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{ccl}
\dot{x}(t)&=&f[x(t),u(t),\theta]\hspace{2cm}x(t_{0})=x_{0}\\
y(t,\theta)&=&g[x(t),u(t),\theta]
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
$x$ est l'état, $u$ l'entrée et $y$ la réponse du système. Les
observations $z$ sont réalisées à des instants discrets $t_{n}$ et
décrites par:
\begin{displaymath}
z(t_{n})=y(t_{n},\theta) + w_{n}
\end{displaymath}
or as an equation
\begin{equation}
z(t_{n})=y(t_{n},\theta) + w_{n}
\end{equation}
or with \verb#\nonumber# included
\begin{equation}
z(t_{n})=y(t_{n},\theta) + w_{n} \nonumber
\end{equation}
où $w_{n}$ désigne le bruit de mesure supposé blanc, gaussien, de
moyenne nulle et de matrice de covariance $M_{1}$. Nous supposons
d'autre part qu'il n'existe pas de bruit
d'état (mesures des entrees non bruitées et absence de
perturbations) et que les fonctions $f$ et $g$ sont
connues. L'objectif
est l'estimation des paramètres inconnus $\theta$.

L'estimé de $\theta$ au sens de la minimisation des erreurs de sortie
est la valeur qui minimise le critère:
\begin{displaymath}
J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left[z(t_{n})-y(t_{n},\theta)\right]^{T}M_{1}^{-1}\left[z(t_{n})-y(t_{n},\theta)\right]
\end{displaymath}
où $y(t_{n},\theta)$ est la réponse prédite du système à l'instant $t_{n}$ pour
une valeur donnée des paramètres inconnus $\theta$. Cet estimateur
peut s'interpréter comme un estimateur du maximum de vraisemblance
dans le cas particulier où le bruit d'état est nul.

Si la matrice de covariance des bruits de mesure $M_{1}$ est inconnue, elle
peut être estimée au sens du maximum de vraisemblance à partir des
résidus:
\begin{displaymath}
  \hat{M_{1}} = \sum_{n=1}^{N}\left[z(t_{n})-y(t_{n},\theta)\right]\left[z(t_{n})-y(t_{n},\theta)\right]^{T}
\end{displaymath}

\section{Fonction de cohérence}

Considérons un système mono-entrée mono-sortie d'entrée $u(t)$ et de
sortie $y(t)$. Soient respectivement $S_{uu}$ et $S_{yy}$ les spectres
des signaux d'entrée et de sortie et $S_{uy}$ le spectre croisé. La
fonction de cohérence de ce système est définie comme
\begin{displaymath}
  \gamma^2_{uy}(f) =
  \frac{\left|S_{uy}(f)\right|^2}{S_{uu}(f) S_{yy}(f)} 
\end{displaymath}
et satisfait pour chaque fréquence $f$
\begin{displaymath}
  0 \; \le \; \gamma^2_{uy}(f) \; \le \; 1
\end{displaymath}

Si nous nous plaçons dans le cas d'un système linéaire et
supposons que l'entrée et la sortie sont parfaitement mesurées, nous
pouvons montrer que la fonction de cohérence est
identiquement égale à 1 pour toutes les fréquences. Soit $H(p)$ la
fonction de transfert du système; le spectre du signal de sortie et le
spectre croisé entrée/sortie sont donnés par:
\begin{displaymath}
  S_{yy}(f) = \left|H(f)\right|^2 S_{uu}(f)\\
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
  S_{uy}(f) = H(f) S_{uu}(f)
\end{displaymath}
de sorte que
\begin{displaymath}
  \gamma^2_{uy}(f) = \frac{\left|H(f) S_{uu}(f)\right|^2
    }{S_{uu}(f) \left|H(f)\right|^2 S_{uu}(f)} = 1
\end{displaymath}

A l'inverse, si $u(t)$ et $y(t)$ sont totalement décorrélés, la
fonction de cohérence est identiquement nulle.

Une situation intermédiaire, c'est à dire une fonction de cohérence
positive mais inférieure à l'unité, peut avoir diverses explications:
\begin{itemize}
\item du bruit est présent dans les mesures de l'entrée et de la
  sortie;
\item la relation entrée/sortie n'est pas linéaire;
\item la sortie $y(t)$ ne résulte pas de la seule entrée $u(t)$.
\end{itemize}

La fonction de cohérence peut ainsi être employée pour analyser un
ensemble de données de vol et sélectionner la gamme de fréquences
contenant de l'information utile pour l'identification. Etant 
indicative de la qualité de l'information, elle peut également être
utilisée pour pondérer les données dans le critère d'optimisation. 


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: 


\end{document}

