@c end concepts Symmetries

@menu
* Introduction to Symmetries::
* Functions and Variables for Symmetries::
@end menu

@node Introduction to Symmetries, Functions and Variables for Symmetries, Symmetries, Symmetries
@section Introduction to Symmetries

@code{sym}は、多項式の対称群を扱うパッケージです。

これは、
Annick Valibouze
@ifnottex
(@url{https://web.archive.org/web/20061125035035/http://www-calfor.lip6.fr/~avb/})
@end ifnottex
@iftex
@footnote{@url{https://web.archive.org/web/20061125035035/http://www-calfor.lip6.fr/~avb/}}
@end iftex
によって
Macsyma-Symbolicsのために書かれました。
アルゴリズムは、以下の論文に記載されています:

@ifnottex
@enumerate
@item
Fonctions sym@'etriques et changements de bases. Annick Valibouze.
EUROCAL'87 (Leipzig, 1987), 323--332, Lecture Notes in Comput. Sci 378.
Springer, Berlin, 1989.@*
@url{http://www.stix.polytechnique.fr/publications/1984-1994.html}

@item R@'esolvantes et fonctions sym@'etriques. Annick Valibouze.
Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 International Symposium on Symbolic
and Algebraic Computation, ISSAC'89 (Portland, Oregon).
ACM Press, 390-399, 1989.@*
@url{https://web.archive.org/web/20061125035035/http://www-calfor.lip6.fr/~avb/DonneesTelechargeables/MesArticles/issac89ACMValibouze.pdf}

@item Symbolic computation with symmetric polynomials, an extension to Macsyma.
Annick Valibouze. Computers and Mathematics (MIT, USA, June 13-17, 1989),
Springer-Verlag, New York Berlin, 308-320, 1989.@*
@url{http://www.stix.polytechnique.fr/publications/1984-1994.html}

@item Th@'eorie de Galois Constructive. Annick Valibouze. M@'emoire d'habilitation
@`a diriger les recherches (HDR), Universit@'e P. et M. Curie (Paris VI), 1994.
@end enumerate
@end ifnottex

@iftex
@enumerate
@item
Fonctions sym@'etriques et changements de bases
@footnote{@url{www.stix.polytechnique.fr/publications/1984-1994.html}}.
Annick Valibouze. EUROCAL'87 (Leipzig, 1987), 323--332, Lecture Notes in Comput. Sci 378.
Springer, Berlin, 1989.

@item R@'esolvantes et fonctions sym@'etriques
@footnote{@url{https://web.archive.org/web/20061125035035/http://www-calfor.lip6.fr/~avb/DonneesTelechargeables/MesArticles/issac89ACMValibouze.pdf}}.
Annick Valibouze. Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 International Symposium on Symbolic
and Algebraic Computation, ISSAC'89 (Portland, Oregon). ACM Press, 390-399, 1989.

@item Symbolic computation with symmetric polynomials, an extension to Macsyma
@footnote{@url{www.stix.polytechnique.fr/publications/1984-1994.html}}.
Annick Valibouze. Computers and Mathematics (MIT, USA, June 13-17, 1989),
Springer-Verlag, New York Berlin, 308-320, 1989.

@item Th@'eorie de Galois Constructive. Annick Valibouze. M@'emoire d'habilitation
@`a diriger les recherches (HDR), Universit@'e P. et M. Curie (Paris VI), 1994.
@end enumerate
@end iftex

@opencatbox
@category{Group theory}
@category{Polynomials}
@category{Share packages}
@category{Package sym}
@closecatbox


@node Functions and Variables for Symmetries,  , Introduction to Symmetries, Symmetries
@section Functions and Variables for Symmetries


@subsection Changing bases


@deffn {関数} comp2pui (@var{n}, @var{L})
リスト@var{L}で与えられた与えられた完全対称関数から
0から@var{n}までの基本対称関数にパスすることを実装します。
もしリスト@var{L}が
@var{n+1}個より少ない要素を含むなら、
タイプ@var{h1}, @var{h2}などの
形式的な値で完成されます。
もし
リスト@var{L}の最初の要素が存在するなら、
それはアルファベットのサイズを指定します。
そうでないなら、サイズは@var{n}に設定されます。
@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c comp2pui (3, [4, g]);
@example
@group
(%i1) comp2pui (3, [4, g]);
                        2                    2
(%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} ele2pui (@var{m}, @var{L})
基本対称関数から完全関数に行きます。
@code{comp2ele}や@code{comp2comp}に似ています。

基数を変える他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} ele2comp (@var{m}, @var{L})
基本対称関数から完全関数に行きます。
@code{comp2ele}や@code{comp2pui}に似ています。

基数を変える他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} elem (@var{ele}, @var{sym}, @var{lvar})
リスト@var{lvar}に含まれる変数に関して、
リスト@var{ele}で与えられた基本対称関数を使って、
対称多項式@var{sym}を分解します。
もし@var{ele}の最初の要素が与えられたら、
アルファベットのサイズで、
そうでないなら、サイズは多項式@var{sym}の次数です。
もし値がリスト@var{ele}になければ、
タイプ@var{e1}, @var{e2}などの形式的値が加えられます。
多項式@var{sym}は３つの異なる形式で与えられます:
contracted (@code{elem}はその時、デフォルト値1であるべきです),
partitioned (@code{elem}は3であるべきです),または
extended(すなわち、多項式全体, かつ、@code{elem}は2であるべきです)。
関数@code{pui}は同じ方法で使われます。

サイズ3のアルファベットと値7を持つ最初の基本対称関数@var{e1}上で、
(ここで変数の２つにだけ依存する)短縮された形式が@var{x^4-2*x*y}である
3変数の対称多項式が以下のように基本対称関数で分解されます:

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
@c ratsimp (%);
@example
@group
(%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
(%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3

                                         + (- 2 (49 - e2) - 2) e2
@end group
@group
(%i2) ratsimp (%);
                              2
(%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401
@end group
@end example

@noindent
基数を変える他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} mon2schur (@var{L})
リスト@var{L}は
Schur関数@math{S_L}を表します:
 we have
@iftex
@math{i_1 \le i_2 \le \ldots \le i_q}成る@math{L = [i_1,i_2, \ldots, i_q]}
を持ちます。
Schur関数@math{S_{i_1,i_2, \ldots, i_q}}は、
最初の@math{q}個の行と列@math{i_1+1, i_2+2, \ldots, i_q+q}
から成る無限行列@math{h_{i-j}}, @math{i \ge 1, j \ge 1}
の小行列式です。
@end iftex
@ifnottex
@math{i_1 <= i_2 <= ... <= i_q}成る@math{L = [i_1, i_2, ..., i_q]}
を持ちます。
Schur関数@math{S_[i_1, i_2, ..., i_q]}は、
最初の@math{q}個の行と列@math{1 + i_1, 2 + i_2, ..., q + i_q}
から成る無限行列@math{h_[i-j]}, @math{i <= 1, j <= 1}
の小行列式です。

@end ifnottex

このSchur関数は
@code{treinat}と@code{kostka}を使うことで
単項式の項で書かれることができます。
返される形式は、
変数
@tex
$x_1,x_2,\ldots$
@end tex
@ifnottex
@math{x_1,x_2,...}
@end ifnottex
の短縮表現の対称多項式です。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c mon2schur ([1, 1, 1]);
@c mon2schur ([3]);
@c mon2schur ([1, 2]);
@example
@group
(%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
(%o1)                       x1 x2 x3
@end group
@group
(%i2) mon2schur ([3]);
                                  2        3
(%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1
@end group
@group
(%i3) mon2schur ([1, 2]);
                                      2
(%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2
@end group
@end example

@noindent
以上は、3つの変数に関してこれが与えることを意味します:

@c UM, FROM WHAT ARGUMENTS WAS THE FOLLOWING GENERATED ?? (original comment)
@example
@group
   2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
    + x2^2 x3 + x3^2 x2
@end group
@end example
@noindent
基数を変えるための他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} multi_elem (@var{l_elem}, @var{multi_pc}, @var{l_var})
@var{l_elem}に含まれる基本対称関数を使って、リスト@var{l_var}のリストに含まれる
変数のグループに関して、
多重対称多項式を
多重短縮形@var{multi_pc}に分解します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
@c ratsimp (%);
@example
@group
(%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3,
      [[x, y], [a, b]]);
                                                  3
(%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
@end group
@group
(%i2) ratsimp (%);
                         2                       3
(%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1
@end group
@end example

基数を変えるための他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@c WHAT ARE THE ARGUMENTS FOR THIS FUNCTION ?? (original comment)
@deffn {関数} multi_pui
関数@code{multi_elem}が関数@code{elem}に対するものであるように、
関数@code{pui}に対するものです。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
@example
@group
(%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3,
      [[x, y], [a, b]]);
                                            3
                                3 p1 p2   p1
(%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
                                   2       2
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@c HMM, pui IS A VARIABLE AS WELL.  It's a function, for sure.
@deffn {関数} pui (@var{L}, @var{sym}, @var{lvar})
リスト@var{L}の中のべき関数を使って、
リスト@var{lvar}の中の変数に関して、
対称多項式@var{sym}を分解します。
もし@var{L}の最初の要素が与えられるなら、
アルファベットのサイズです。
そうでないなら、サイズは多項式@var{sym}の次数になります。
もしリスト@var{L}の中に値がないなら、
タイプ@var{p1}, @var{p2} , などの形式的な値が加えられます。
多項式@var{sym}は、
３つの異なる形式で与えられることができます:
contracted (@code{elem}は1でなければならず、デフォルト値です),
partitioned (@code{elem}は3でなければいけません),
extended (すなわち、多項式全体、そして@code{elem}は2でなければいけません)。
関数@code{pui}は同じ方法で使われます。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c pui;
@c pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
@c ratsimp (%);
@example
@group
(%i1) pui;
(%o1)                           1
@end group
@group
(%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
                       2
                   a (a  - b) u   (a b - p3) u
(%o2)              ------------ - ------------
                        6              3
@end group
@group
(%i3) ratsimp (%);
                                       3
                      (2 p3 - 3 a b + a ) u
(%o3)                 ---------------------
                                6
@end group
@end example
@noindent
Other functions for changing bases: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} pui2comp (@var{n}, @var{lpui})
リスト@var{lpui}で与えられたべき関数を使って、
(最初に長さを持ち)最初の@var{n}個の完全関数のリストを返します。
もしリスト@var{lpui}が空なら、
基数は@var{n}で、
そうでないなら、基数は(@code{comp2ele}や@code{comp2pui}同様)
最初の要素です。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c pui2comp (2, []);
@c pui2comp (3, [2, a1]);
@c ratsimp (%);
@example
@group
(%i1) pui2comp (2, []);
                                       2
                                p2 + p1
(%o1)                   [2, p1, --------]
                                   2
@end group
@group
(%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
                                            2
                                 a1 (p2 + a1 )
                         2  p3 + ------------- + a1 p2
                  p2 + a1              2
(%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
                     2                  3
@end group
@group
(%i3) ratsimp (%);
                            2                     3
                     p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
(%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
                        2               6
@end group
@end example
@noindent
基数を変えるための他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} pui2ele (@var{n}, @var{lpui})
べき関数から基本対称関数への変転に影響します。
もしフラグ@code{pui2ele}が@code{girard}なら、
1から@var{n}までの基本対称関数のリストを返し、
もしフラグが@code{close}なら、
@var{n}番目の基本対称関数を返します。

基数を変えるための他の関数: @code{comp2ele}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} puireduc (@var{n}, @var{lpui})
@var{lpui}は
最初の要素が整数@var{m}のリストです。
@code{puireduc}は
最初の@var{m}個を使って最初の@var{n}個のべき関数を与えます。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c puireduc (3, [2]);
@example
@group
(%i1) puireduc (3, [2]);
                                         2
                                   p1 (p1  - p2)
(%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
                                         2
@end group
@group
(%i2) ratsimp (%);
                                           3
                               3 p1 p2 - p1
(%o2)              [2, p1, p2, -------------]
                                     2
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} schur2comp (@var{P}, @var{l_var})
@var{P}はリスト@var{l_var}の変数の多項式です。
これらの変数のそれぞれは完全対称関数を表します。
@var{l_var}の中で、
@var{i}番目の完全対称関数は
文字@code{h}と整数@var{i}の連結@code{h@var{i}}によって表されます。
この関数は
@var{P}をSchur関数を使って表現します。


@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
@c schur2comp (a*h3, [h3]);
@example
@group
(%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
(%o1)                         s
                               1, 2
@end group
@group
(%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
(%o2)                         s  a
                               3
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn





@subsection Changing representations

@deffn {関数} cont2part (@var{pc}, @var{lvar})
変数が@var{lvar}の中に含まれている短縮形@var{pc}に
関連付けられた分割多項式を返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
@c cont2part (pc, [x, y]);
@example
@group
(%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
                           3    4      5
(%o1)                   2 a  b x  y + x
@end group
@group
(%i2) cont2part (pc, [x, y]);
                                   3
(%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} contract (@var{psym}, @var{lvar})
リスト@var{lvar}に含まれる変数に関する
多項式@var{psym}の
短縮形(すなわち、対称群の作用の下での単項軌道)を返します。
@c CHECK ME!!
関数@code{explose}は逆演算を実行します。
関数@code{tcontract}は多項式の対称性をテストします。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
@c contract (psym, [x, y, z]);
@example
@group
(%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
         3      4      3      4      3    4        3    4
(%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z

                                           3      4      3    4
                                      + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
@end group
@group
(%i2) contract (psym, [x, y, z]);
                              3    4
(%o2)                      2 a  b x  y
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} explose (@var{pc}, @var{lvar})
短縮形@var{pc}に関連付けられた対称多項式を返します。
リスト@var{lvar}は変数を含みます。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c explose (a*x + 1, [x, y, z]);
@example
@group
(%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
(%o1)                  a z + a y + a x + 1
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} part2cont (@var{ppart}, @var{lvar})
対称式を分割形から短縮形に変換します。
短縮形は@var{lvar}の中の変数で表されます。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
@example
@group
(%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
                              3    4
(%o1)                      2 a  b x  y
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} partpol (@var{psym}, @var{lvar})
@var{psym}は
リスト@var{lvar}の変数に関する対称多項式です。
この関数は分割表現を返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
@example
@group
(%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
(%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} tcontract (@var{pol}, @var{lvar})
多項式@var{pol}が
リスト@var{lvar}の変数に関して対称かテストします。
もしそうなら、関数@code{contract}のように短縮表現を返します。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} tpartpol (@var{pol}, @var{lvar})
多項式@var{pol}が
リスト@var{lvar}の中の変数に関して
対称かテストします。
もしそうなら
関数@code{partpol}のように
分割表現を返します。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn




@subsection Groups and orbits


@deffn {関数} direct ([@var{p_1}, ..., @var{p_n}], @var{y}, @var{f}, [@var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}])
変数@var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}のリストと
変数@var{y}についての多項式@var{p_1}, ..., @var{p_n}に関して、
関数@var{f}に関連付けられた順像
(M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze,
ISSAC 1988, Romeを参照してください)
を計算します。
関数@var{f}のアリティが計算にとって重要です。
例えば、
@var{f}についての式がある変数に依存しないなら、
この変数を含むことは役に立たず、含めなければ、
計算量を相当に減らすことにもなるでしょう。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
@c               z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
@c ratsimp (%);
@c ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
@c               z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
@example
@group
(%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
              z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
       2
(%o1) y  - e1 f1 y

                                 2            2             2   2
                  - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
                + -----------------------------------------------
                                         2
@end group
@group
(%i2) ratsimp (%);
              2                2                   2
(%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1
@end group
@group
(%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
              z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
       6            5         2                        2    2   4
(%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y

                          3                               3   3
 + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y

         2       2        4    2
 + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2

                    2       2       2                   2    4
 + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )

  2          2                      2     3          2
 y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2

                 2            2    3                5
 + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y

           2                   3           3     2   2    3
 + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2

         2      3                   3    2   2
 + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2

                   2    4        2   6
 + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1
@end group
@end example

根が和@math{a+u}である多項式を見つけること。
ただし、@math{a}は@math{z^2 - e_1 z + e_2}の根で、
@math{u}は@math{z^2 - f_1 z + f_2}の根です。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
@c                           z, a + u, [[u], [a]]));
@example
@group
(%i1) ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
                          z, a + u, [[u], [a]]));
       4                    3             2
(%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2

     2   2                              2               2
 + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1

                  2                     2            2
 - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1

     2
 + e2
@end group
@end example

@code{direct}は２つのフラグを受け付けます:
@code{elementaires}と@code{puissances} (デフォルト)
これらは、計算の中に現れる対称多項式を
それぞれ基本対称関数またはべき関数に分解することを許します。

この関数で使われる@code{sym}の関数は以下の通りです:

@code{multi_orbit} (だから@code{orbit}), @code{pui_direct}, @code{multi_elem}
(だから@code{elem}), @code{multi_pui} (だから@code{pui}), @code{pui2ele}, @code{ele2pui}
(もしフラグ@code{direct}が@code{puissances}の中にあれば)。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn




@deffn {関数} multi_orbit (@var{P}, [@var{lvar_1}, @var{lvar_2},..., @var{lvar_p}])

@var{P}は
リスト@var{lvar_1}, @var{lvar_2}, ..., @var{lvar_p}に含まれる
変数の集合に関する
多項式です。
この関数は
これら@var{p}リストで表された変数の集合の対称群の積の作用の下で
多項式@var{P}の
軌道を返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
@c multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
@example
@group
(%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
(%o1)                [b y + a x, a y + b x]
@end group
@group
(%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
(%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]
@end group
@end example
@noindent
以下も参照してください: 単対称群の作用に関する@code{orbit}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn




@deffn {関数} multsym (@var{ppart_1}, @var{ppart_2}, @var{n})
次数@var{n}の対称群の作用を法としてのみ働くことで、
@var{n}個の変数に関する２つの対称多項式の積を返します。
多項式は分割形式です。

@var{x}, @var{y}に関する鵜２つの対称多項式:
分割形式が@code{[[3, 1], [2, 1, 1]]}と@code{[[5, 2]]}である
@code{3*(x + y) + 2*x*y}と@code{5*(x^2 + y^2)}
が与えられたとして、それらの積は、

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
@example
@group
(%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
(%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]
@end group
@end example
@noindent
、すなわち、@code{10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)}です。

対称多項式の表現を変える関数は以下の通りです:

@code{contract}, @code{cont2part}, @code{explose}, @code{part2cont},
@code{partpol}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} orbit (@var{P}, @var{lvar})
リスト@var{lvar}の変数の集合の対称群の作用の下で
リスト@var{lvar}の変数に関する多項式@var{P}の軌道を計算します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c orbit (a*x + b*y, [x, y]);
@c orbit (2*x + x^2, [x, y]);
@example
@group
(%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
(%o1)                [a y + b x, b y + a x]
@end group
@group
(%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
                        2         2
(%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]
@end group
@end example
@noindent
多項式に関する対称群の積の作用に関しては@code{multi_orbit}も参照してください。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} pui_direct (@var{orbite}, [@var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}], [@var{d_1}, @var{d_2}, ..., @var{d_n}])

@var{f}を
変数の@var{n}個のブロック@var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}に関する多項式とします。
@var{c_i}を
@var{lvar_i}の中の変数の数とし、
@var{SC}を
次数@var{c_1}, ..., @var{c_n}の
@var{n}個の対称群の積とします。
この群は自然に@var{f}に作用します。
リスト@var{orbite}は
@var{SC}の作用の下での関数@var{f}の軌道で、@code{@var{SC}(@var{f})}を意味します。
(このリストは
関数@code{multi_orbit}によって得られます。)
@var{di}は
@iftex
$c_1 \le d_1, c_2 \le d_2, \ldots, c_n \le d_n$.
@end iftex
@ifnottex
@math{c_1 <= d_1, c_2 <= d_2, ..., c_n <= d_n}.
@end ifnottex
を満たすような整数です。

@var{SD}を
対称群
@iftex
@math{S_{d_1} \times S_{d_2} \times \cdots \times S_{d_n}}
@end iftex
@ifnottex
@math{S_[d_1] x S_[d_2] x ... x S_[d_n]}
@end ifnottex
の積とします。
関数@code{pui_direct}は
@code{@var{SC}(@var{f})}のべき関数から演繹された
@code{@var{SD}(@var{f})}の
最初の@var{n}個のべき関数を返します。
ここで、@var{n}は@code{@var{SD}(@var{f})}のサイズです。

結果は@var{SD}に関する多重短縮された形式です。
すなわち、@var{SD}の作用の下で、軌道毎にただ１つの要素が保持されます。


@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c l: [[x, y], [a, b]];
@c pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
@c pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
@c pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
@example
@group
(%i1) l: [[x, y], [a, b]];
(%o1)                   [[x, y], [a, b]]
@end group
@group
(%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
                                       2  2
(%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]
@end group
@group
(%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
                             2  2     2    2        3  3
(%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x , 

    2  2  2  2      3    3        4  4
12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x , 

    3  2  3  2      4    4        5  5
10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x , 

    3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]
@end group
@group
(%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a],
      [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
                             2              2
(%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a , 

                 2                   3        2       2        3
              9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]
@end group
@end example
@c THIS NEXT FUNCTION CALL TAKES A VERY LONG TIME (SEVERAL MINUTES)
@c SO LEAVE IT OUT TIL PROCESSORS GET A LITTLE FASTER ...
@c pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [3, 4]);

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn






@subsection Partitions

@deffn {関数} kostka (@var{part_1}, @var{part_2})
P. Esperetによって書かれ、
分割@var{part_1}と@var{part_2}のKostka数を計算します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
@example
@group
(%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
(%o1)                           6
@end group
@end example

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} lgtreillis (@var{n}, @var{m})
重み@var{n}と長さ@var{m}の分割のリストを返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c lgtreillis (4, 2);
@example
@group
(%i1) lgtreillis (4, 2);
(%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]
@end group
@end example
@noindent
以下も参照してください: @code{ltreillis}, @code{treillis}, @code{treinat}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} ltreillis (@var{n}, @var{m})
重み@var{n}と@var{m}以下の長さの分割のリストを返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c ltreillis (4, 2);
@example
@group
(%i1) ltreillis (4, 2);
(%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]
@end group
@end example
@noindent
以下も参照してください: @code{lgtreillis}, @code{treillis}, @code{treinat}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} treillis (@var{n})
重み@var{n}の分割すべてを返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c treillis (4);
@example
@group
(%i1) treillis (4);
(%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
@end group
@end example

以下も参照してください: @code{lgtreillis}, @code{ltreillis}, @code{treinat}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} treinat (@var{part})
自然な順序に関する分割@var{part}より低い分割のリストを返します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c treinat ([5]);
@c treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
@c treinat ([3, 2]);
@example
@group
(%i1) treinat ([5]);
(%o1)                         [[5]]
@end group
@group
(%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
(%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], 

                                                 [1, 1, 1, 1, 1]]
@end group
@group
(%i3) treinat ([3, 2]);
(%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]
@end group
@end example

以下も参照してください: @code{lgtreillis}, @code{ltreillis}, @code{treillis}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn





@subsection Polynomials and their roots

@deffn {関数} ele2polynome (@var{L}, @var{z})
根の基本対称関数が
リスト@code{@var{L} = [@var{n}, @var{e_1}, ..., @var{e_n}]}の中にあるような
@var{z}に関する多項式を返します。
ここで@var{n}は多項式の次数であり、
@var{e_i}は@var{i}番目の基本対称関数です。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c ele2polynome ([2, e1, e2], z);
@c polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
@c ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
@example
@group
(%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
                          2
(%o1)                    z  - e1 z + e2
@end group
@group
(%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
(%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
@end group
@group
(%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                  7       5       3
(%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22
@end group
@end example
@noindent
The inverse: @code{polynome2ele (@var{P}, @var{z})}.

Also see:
@code{polynome2ele}, @code{pui2polynome}.

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} polynome2ele (@var{P}, @var{x})
リスト@code{@var{l} = [@var{n}, @var{e_1}, ..., @var{e_n}]}を与えます。
ここで@var{n}は
変数@var{x}に関する多項式@var{P}の次数であり、
@var{e_i}は
@var{P}の根の@var{i}番目の基本対称関数です。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
@c ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
@example
@group
(%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
(%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
@end group
@group
(%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                  7       5       3
(%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22
@end group
@end example
@noindent
逆: @code{ele2polynome (@var{l}, @var{x})}

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} prodrac (@var{L}, @var{k})
@var{L}は
集合@var{A}上の基本対称関数を含む
リストです。
@code{prodrac}は、
根が
@var{A}の要素の
@var{k}掛ける@var{k}の積の
多項式を返します。

@code{somrac}も参照してください。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} pui2polynome (@var{x}, @var{lpui})
根のべき関数がリスト@var{lpui}で与えられる
@var{x}に関する多項式を計算します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
@c ele2pui (3, %);
@c pui2polynome (x, %);
@example
@group
(%i1) pui;
(%o1)                           1
@end group
@group
(%i2) kill(labels);
(%o0)                         done
@end group
@group
(%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
(%o1)                     [3, 4, 5, 1]
@end group
@group
(%i2) ele2pui (3, %);
(%o2)                     [3, 4, 6, 7]
@end group
@group
(%i3) pui2polynome (x, %);
                        3      2
(%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1
@end group
@end example
@noindent
以下も参照してください:
@code{polynome2ele}, @code{ele2polynome}。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} somrac (@var{L}, @var{k})
リスト@var{L}は
多項式@var{P}の基本対称関数を含みます。
関数は
根が@var{P}の根の@var{k}掛ける@var{k}の別個の和である
多項式を計算します。

@code{prodrac}も参照してください。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn





@subsection Resolvents

@deffn {関数} resolvante (@var{P}, @var{x}, @var{f}, [@var{x_1},..., @var{x_d}]) 
変数@var{x_1}, ..., @var{x_d}で表現された関数@var{f}によって
次数@var{n} >= @var{d}の
@var{x}に関する多項式@var{P}
の解核を計算します。
計算の効率のため、
変換関数@var{f}に現れない変数の
リスト@code{[@var{x_1}, ..., @var{x_d}]}に含まれないことが重要です。

計算の効率を増すためには、
適切なアルゴリズムを使うように
@code{resolvante}に関するフラグを設定することができます:

もし関数@var{f}がユニタリなら:
@itemize @bullet
@item
単変数の多項式,
@item
  線形,
@item
  交互の,
@item
  和,
@item
  対照的,
@item
  積,
@item
(次数5まで使用に向く)Cayley解核の関数 

@c WHAT IS THIS ILLUSTRATING EXACTLY ??
@example
@group
(x1*x2 + x2*x3 + x3*x4 + x4*x5 + x5*x1 -
     (x1*x3 + x3*x5 + x5*x2 + x2*x4 + x4*x1))^2
@end group
@end example

一般的,
@end itemize
@code{resolvante}のフラグはそれぞれ:
@itemize @bullet
@item
  unitaire,
@item
  lineaire,
@item
  alternee,
@item
  somme,
@item
  produit,
@item
  cayley,
@item
  generale.
@end itemize

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c resolvante: unitaire$
@c resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1, [x]);
@c resolvante: lineaire$
@c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
@c resolvante: general$
@c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
@c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);
@c direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
@c resolvante :lineaire$
@c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
@c resolvante: symetrique$
@c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
@c resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
@c resolvante: alternee$
@c resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
@c resolvante: produit$
@c resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
@c resolvante: symetrique$
@c resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
@c resolvante: cayley$
@c resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);
@example
(%i1) resolvante: unitaire$
@group
(%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1,
      [x]);

" resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840,
                         - 2772, 56448, - 33880, 

413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464, 

175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760] 
  3       6      3       9      6      3
[x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1, 

 12      9      6      3       15      12       9       6      3
x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x

       18      15       12       9       6      3
 - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1, 

 21      18       15       12       9       6      3
x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1] 
[- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011] 
       7      6        5         4          3           2
(%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y

                                              + 376999 y + 125253
@end group
(%i3) resolvante: lineaire$
@group
(%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante lineaire " 
       24       20         16            12             8
(%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
@end group
(%i5) resolvante: general$
@group
(%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante generale " 
       24       20         16            12             8
(%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
@end group
@group
(%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);

" resolvante generale " 
       24       20         16            12             8
(%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
@end group
@group
(%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
       24       20         16            12             8
(%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
@end group
(%i9) resolvante :lineaire$
@group
(%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante lineaire " 
                              4
(%o10)                       y  - 1
@end group
(%i11) resolvante: symetrique$
@group
(%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante symetrique " 
                              4
(%o12)                       y  - 1
@end group
@group
(%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

" resolvante symetrique " 
                           6      2
(%o13)                    y  - 4 y  - 1
@end group
(%i14) resolvante: alternee$
@group
(%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

" resolvante alternee " 
            12      8       6        4        2
(%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229
@end group
(%i16) resolvante: produit$
@group
(%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante produit "
        35      33         29        28         27        26
(%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

         24           23          22            21           20
 + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

          19           18             17              15
 - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

             14              12             11            10
 - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

              9            8            7             6
 - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

            5             3
 - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
@end group
(%i18) resolvante: symetrique$
@group
(%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante symetrique " 
        35      33         29        28         27        26
(%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

         24           23          22            21           20
 + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

          19           18             17              15
 - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

             14              12             11            10
 - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

              9            8            7             6
 - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

            5             3
 - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
@end group
(%i20) resolvante: cayley$
@group
(%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);

" resolvante de Cayley "
        6       5         4          3            2
(%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x

                                                       + 93392896
@end group
@end example

Cayley解核に関して、最後の2つの引数は中立で、
入力多項式は必然的に次数5でなければいけません。

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_bipartite}, @code{resolvante_produit_sym},
@code{resolvante_unitaire}, @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, 
@code{resolvante_klein3}, @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} resolvante_alternee1 (@var{P}, @var{x})
関数
@iftex
@math{\prod_{1\leq i<j\leq n-1} (x_i-x_j)}.
@end iftex
@ifnottex
@math{product(x_i - x_j, 1 <= i < j <= n - 1)}.
@end ifnottex
によって
次数@var{n}の
変換@code{@var{P}(@var{x})}を計算します。
以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante} , @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
@code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}, @code{resolvante_bipartite}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} resolvante_bipartite (@var{P}, @var{x})
関数
@iftex
@math{x_1 x_2 \cdots x_{n/2} + x_{n/2+1}\cdots x_n}.
@end iftex
によって
偶次数@var{n}の@code{@var{P}(@var{x})}の変換を計算します。
@c UNFORTUNATELY TEXINFO DOES NOT HAVE A NOTION OF "@ELSE"
@c SO IT IS NECESSARY TO REPEAT THE FOLLOWING NON-TEX STUFF FOR INFO AND FOR HTML ... SIGH
@ifnottex
@math{x_1 x_2 ... x_[n/2] + x_[n/2 + 1] ... x_n}.
@end ifnottex

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
@example
@group
(%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
              10        8           6             4
(%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y
@end group
@end example

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
@code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}, @code{resolvante_alternee1}.
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} resolvante_diedrale (@var{P}, @var{x})
関数@code{@var{x_1} @var{x_2} + @var{x_3} @var{x_4}}によって
@code{@var{P}(@var{x})}の変換を計算します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
@example
@group
(%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
       15       12       11       10        9         8         7
(%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x

        6         5          4          3          2
 - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x

 - 697
@end group
@end example

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
@code{resolvante_vierer}, @code{resolvante}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} resolvante_klein (@var{P}, @var{x})
関数@code{@var{x_1} @var{x_2} @var{x_4} + @var{x_4}}によって
@code{@var{P}(@var{x})}の変換を計算します。

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante}, @code{resolvante_klein3},
@code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} resolvante_klein3 (@var{P}, @var{x})
関数@code{@var{x_1} @var{x_2} @var{x_4} + @var{x_4}}によって
@code{@var{P}(@var{x})}の変換を計算します。

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante},
@code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} resolvante_produit_sym (@var{P}, @var{x})
多項式@code{@var{P}(@var{x})}のすべての積解核のリストを計算します。

@c GENERATED FROM THE FOLLOWING
@c resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
@c resolvante: produit$
@c resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);
@example
@group
(%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
        5      4             10      8       7       6       5
(%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y

    4       3      2       10      8       7    6       5       4
 - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y

       3      2       5      4
 - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]
@end group
(%i2) resolvante: produit$
@group
(%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);

" resolvante produit "
       10      8       7    6        5       4       3     2
(%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1
@end group
@end example
@c INPUT %i3 TICKLES A MINOR BUG IN resolvante: 
@c " resolvante produit " IS PRINTED FROM SOMEWHERE IN THE BOWELS OF resolvante
@c AND IT GOOFS UP THE DISPLAY OF THE EXPONENTS OF %o3 -- I THREW IN A LINE BREAK TO ADJUST

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein},
@code{resolvante_klein3}, @code{resolvante_vierer},
@code{resolvante_diedrale}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn



@deffn {関数} resolvante_unitaire (@var{P}, @var{Q}, @var{x})
多項式@code{@var{Q}(@var{x})}によって
多項式@code{@var{P}(@var{x})}の解核を計算します。

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante},
@code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
@code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} resolvante_vierer (@var{P}, @var{x})
関数@code{@var{x_1} @var{x_2} - @var{x_3} @var{x_4}}によって
@code{@var{P}(@var{x})}の変換を計算します。

以下も参照してください:
@flushleft
@code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
@code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
@code{resolvante}, @code{resolvante_diedrale}。
@end flushleft

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn




@subsection Miscellaneous


@deffn {関数} multinomial (@var{r}, @var{part})
ここで@var{r}は分割@var{part}の重みです。
この関数は、同類の多項係数を返します:
もし@var{part}の部分が
@var{i_1}, @var{i_2}, ..., @var{i_k}なら、
結果は
@code{@var{r}!/(@var{i_1}! @var{i_2}! ... @var{i_k}!)}
です。

@opencatbox
@category{Package sym}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} permut (@var{L})
リスト@var{L}の置換のリストを返します。

@opencatbox
@category{Package sym}
@category{Lists}
@closecatbox
@end deffn
