@c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
@c /Atensor.texi/1.9/Sat Jun  2 00:12:32 2007//
@menu
* Introdução ao Pacote atensor::
* Funções e Variáveis Definidas para o Pacote atensor::
@end menu

@node Introdução ao Pacote atensor, Funções e Variáveis Definidas para o Pacote atensor, Pacote atensor, Pacote atensor
@section Introdução ao Pacote atensor

@code{atensor} é um pacote de manipulção de tensores algébricos.  Para usar @code{atensor},
digite @code{load("atensor")}, seguido por uma chamada à função 
@code{init_atensor}.

A essência de @code{atensor} é um conjunto de regras de simplificação para o operador
de produto (ponto) não comutativo ("@code{.}").  @code{atensor} reconhece
muitos tipos de álgebra; as regras de simplificação correspondentes são ativadas quando
a função @code{init_atensor} é chamada.

A compatibilidade de @code{atensor} pode ser demonstrada pela definição da
álgebra de quatérnios como uma álgera-Clifford Cl(0,2) com dois vetores
fundamentais.  As três unidades quaterniônicas imaginárias fundamentais são então os dois
vetores base  e seu produto, i.e.:

@example
    i = v     j = v     k = v  .  v
         1         2         1    2
@end example

Embora o pacote @code{atensor} tenha uma definição interna para a
álgebra dos quatérnios, isso não foi usado nesse exemplo, no qual nós
nos esforçamos para construir a tabela de multiplicação dos quatérnios como uma matriz:

@example

(%i1) load("atensor");
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  .  v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;
                   [    1        v         v      v  .  v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  .  v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  .  v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  .  v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]
@end example

@code{atensor} reconhece como bases vetoriais símbolos indexados, onde o símbolo 
é aquele armazenado em @code{asymbol} e o iíndice está entre 1 e @code{adim}.
Para símbolos indexado, e somente para símbolos indexados, as formas bilineares
@code{sf}, @code{af}, e @code{av} são avaliadas.  A avaliação
substitui os valores  de @code{aform[i,j]} em lugar de @code{fun(v[i],v[j])}
onde @code{v} representa o valor de @code{asymbol} e @code{fun} é
ainda @code{af} ou @code{sf}; ou, isso substitui @code{v[aform[i,j]]}
em lugar de @code{av(v[i],v[j])}.

Desnecessário dizer, as funções @code{sf}, @code{af} e @code{av}
podem ser redefinidas.

Quando o pacote @code{atensor} é chamado, os seguintes sinalizadores são configurados:

@example
dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;
@end example

Se você deseja experimentar com uma álgebra não associativa, você pode também
considerar a configuração de @code{dotassoc} para @code{false}.  Nesse caso, todavia,
@code{atensimp} não stará sempre habilitado a obter as simplificações
desejadas.


@c end concepts atensor
@node Funções e Variáveis Definidas para o Pacote atensor,  , Introdução ao Pacote atensor, Pacote atensor

@section Funções e Variáveis Definidas para o Pacote atensor

@deffn {Função} init_atensor (@var{alg_type}, @var{opt_dims})
@deffnx {Função} init_atensor (@var{alg_type})

Inicializa o pacote @code{atensor} com o tipo especificado de álgebra.  @var{alg_type}
pode ser um dos seguintes:

@code{universal}: A álgebra universal tendo regras não comutativas.

@code{grassmann}: A álgebra de Grassman é definida pela relação de 
comutação @code{u.v+v.u=0}.

@code{clifford}: A álgebra de Clifford é definida pela relação
de comutação @code{u.v+v.u=-2*sf(u,v)} onde @code{sf} é a função
valor-escalar simétrico.  Para essa álgebra, @var{opt_dims} pode ser acima de três 
inteiros não negativos, representando o número de dimensões positivas,
dimensões degeneradas, e dimensões negativas da álgebra, respectivamente.  Se
quaisquer valores @var{opt_dims} são fornecidos, @code{atensor} irá configurar os
valores de @code{adim} e @code{aform} apropriadamente.  Caso contrário,
@code{adim} irá por padrão para 0 e @code{aform} não será definida.

@code{symmetric}: A álgebra simétrica é definida pela relação de 
comutação @code{u.v-v.u=0}.

@code{symplectic}: A álgebra simplética é definida pela relação de 
comutação @code{u.v-v.u=2*af(u,v)} onde @code{af} é uma função valor-escalar 
antisimétrica.  Para a álgebra simplética, @var{opt_dims} pode
mais de dois inteiros não negativos, representando a dimensão não degenerada e
e a dimensão degenerada, respectivamente.  Se quaisquer valores @var{opt_dims} são
fornecidos, @code{atensor} irá configurar os valores de @code{adim} e @code{aform}
apropriadamente.  Caso contrário, @code{adim} irá por padrão para 0 e @code{aform}
não será definida.

@code{lie_envelop}: O invólucro da álgebra de Lie é definido pela 
relação de comutação @code{u.v-v.u=2*av(u,v)} onde @code{av} é
uma função antisimétrica.

A função @code{init_atensor} também reconhece muitos tipos pré-definidos de 
álgebra:

@code{complex} implementa a álgebra de números complexos como a
álgebra de Clifford Cl(0,1).  A chamada @code{init_atensor(complex)} é
equivalente a @code{init_atensor(clifford,0,0,1)}.

@code{quaternion} implementa a álgebra de quatérnios.  A chamada
@code{init_atensor(quaternion)} é equivalente a 
@code{init_atensor(clifford,0,0,2)}.

@code{pauli} implementa a álgebra de Pauli-spinors como a Clifford-álgebra
Cl(3,0).  Uma chamada a @code{init_atensor(pauli)} é equivalente a
@code{init_atensor(clifford,3)}.

@code{dirac} implementa a álgebra de Dirac-spinors como a Clifford-álgebra
Cl(3,1).  Uma chamada a @code{init_atensor(dirac)} é equivalente a
@code{init_atensor(clifford,3,0,1)}.

@end deffn


@deffn {Função} atensimp (@var{expr})

Simplifica a expressão algébrica de tensores @var{expr} conforme as regras
configuradas por uma chamada a @code{init_atensor}.  Simplificações incluem
aplicação recursiva de relações comutativas e resoluções de chamadas a
@code{sf}, @code{af}, e @code{av} onde for aplicável.  Uma
salvaguarda é usada para garantir que a função sempre termine, mesmo para
expressões complexas.

@end deffn

@deffn {Função} alg_type

O tipo de álgebra.  Valores válidos sáo @code{universal}, @code{grassmann},
@code{clifford}, @code{symmetric}, @code{symplectic} e @code{lie_envelop}.

@end deffn

@defvr {Variável} adim
Valor padrão: 0

A dimensionalidade da álgebra.  @code{atensor} usa o valor de @code{adim}
para determinar se um objeto indexado é uma base vetorial válida. Veja @code{abasep}.

@end defvr

@defvr {Variável} aform

Valor padrão para as formas bilineares @code{sf}, @code{af}, e
@code{av}.  O padrão é a matriz identidade @code{ident(3)}.

@end defvr

@defvr {Variável} asymbol
Valor padrão: @code{v}

O símbolo para bases vetoriais.

@end defvr

@deffn {Função} sf (@var{u}, @var{v})

É uma função escalar simétrica que é usada em relações comutativas.
A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vetoriais
usando @code{abasep} e se esse for o caso, substitui o valor 
correspondente da matriz @code{aform}.

@end deffn

@deffn {Função} af (@var{u}, @var{v})

É uma função escalar antisimétrica que é usada em relações comutativas.
A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vetoriais
usando @code{abasep} e se esse for o caso, substitui o
valor correspondente da matriz @code{aform}.

@end deffn

@deffn {Função} av (@var{u}, @var{v})

É uma função antisimétrica que é usada em relações comutativas.
A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vetoriais
usando @code{abasep} e se esse for o caso, substitui o
valor correspondente da matriz @code{aform}.

Por exemplo:

@example
(%i1) load("atensor");
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) adim:3;
(%o2)                                  3
(%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
                               [  0    3   - 2 ]
                               [               ]
(%o3)                          [ - 3   0    1  ]
                               [               ]
                               [  2   - 1   0  ]
(%i4) asymbol:x;
(%o4)                                  x
(%i5) av(x[1],x[2]);
(%o5)                                 x
                                       3
@end example

@end deffn


@deffn {Função} abasep (@var{v})

Verifica se esse argumento é uma base vetorial @code{atensor} .  E será, se ele for
um símbolo indexado, com o símbolo sendo o mesmo que o valor de
@code{asymbol}, e o índice tiver o mesmo valor numérico entre 1
e @code{adim}.

@end deffn

