
\documentstyle[modif.article]{article}
\textheight=660pt 
\textwidth=470pt 
\topmargin=-27pt 
\oddsidemargin=0pt 
\evensidemargin=0pt 
\title{Travaux dirig\'es 4}
\author{J.Ph. Chancelier et E. Parent}
\begin{document}
\maketitle 
\def\cmarg{\hspace{1cm}}

\centerline{Le fichier des macros de la s\'eance de T.D. 4}

\input{TdAuto4.tex}
\Mhlp

\Mfinit

\section{Simulation de l'alunissage}

\paragraph{}La macro {\bf sfusee} simule l'evolution de la dynamique 
 de la fus\'ee soumise \`a une loi de commande bang-bang.
\[
    \left\{ \begin{array}{lcl}
	\dot{h} & = & v \\
	\dot{v} & = & k*u(t)/m(t) -\gamma\\
	\dot{m} & = & - u(t) \end{array}\right.
\]
\begin{center}
	{\bf Question}
\end{center}
A la main faire varier le point de commutation de la loi bang-bang de fa\c{c}on \`a realiser l'objectif suivant : se poser en h=0 avec une vitesse nulle en 
 ayant consomm\'e le moins possible de carburant ( c'est \`a dire avec le $m(Tf)$ le plus grand possible.).

\Msfusee

\section{Recherche d'une loi de commande optimale par gradient}

\begin{center}
	{\bf Question}
\end{center}

On suppose ici que la date optimale pour se poser est connue ($tf=135$)
et on se propose de minimiser par un m\'ethode de gradient le crit\`ere  
$J(u)$~:
\[
	J(u)= -m(Tf) + {1\over \epsilon} (h(tf)^2+v(tf)^2)
\]
Expliquer l'utilisation de se crit\`ere et retrouver la formule de calcul 
du gradient \`a utiliser. La macro {\bf fuseegrad} effectue des it\'erations 
 de gradient \`a partir d'une loi de commande initiale. 
 Chercher un pas de gradient qui fait diminuer le crit\`ere, regarder
 l'influence de la p\'enalisation des conditions finales.

\Mfuseegrad

\Mequad

\Mubang

\Mfcout

\Mfusee

\Mpousse

\Mtraj

\Mfuseep

\end{document}