
\documentstyle[modif.article]{article}

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\textwidth=470pt 
\topmargin=-27pt 
\oddsidemargin=0pt 
\evensidemargin=0pt 
\def\cmarg{\hspace{1cm}}
\title{Travaux dirig\'es 1}
\author{J.Ph. Chancelier et M. Cohen de Lara}

\begin{document}
\maketitle
\vspace{2cm}

\begin{itemize}
\item Entrer sous {\em Basile},
\item taper la commande {\bf xinit ('unix:0.0')} pour pouvoir disposer
d'une fen\^etre graphique.
 \end{itemize}

\centerline{{\bf Le fichier des macros de la s\'eance de T.D. 1}}

\def\tit#1{ \begin{center} \fbox{{\bf  #1}} \end{center}}

% Ce fichier est genere par Basile ne pas l'editer 
\input{TdAuto1.tex}

\Mhlp

\section{Premi\`ere partie : stabilit\'e}
\tit{part1}

En tapant la commande {\bf part1()}, vous chargez des valeurs par d\'efaut
pour les macros de la premi\`ere partie du T.D.
\medskip

\Mpartu

\tit{linear}

Cette macro d\'efinit le champ de vecteurs lin\'eaire $f(x) = alin \star x$.
\medskip

\Mlinear

\centerline{{\sc Questions}}

\begin{itemize}
\item Taper la commande {\bf fchamp(linear,0,-5:1:5,-5:1:5)}. 
Visualiser quelques trajectoires gr\^ace \`a la commande {\bf portrait(linear)} (on pourra prendre 100 pour le nombre de points et 0.1 pour le pas).
\item Taper {\bf help spec}, puis {\bf spec(alin)}. Commenter.
\item Choisir d'autres matrices {\bf alin} en tapant une commande du
type  {\bf alin}= $<1 \;  2;3 \;  4>$. Quels sont les types de comportements
possibles pour les trajectoires au voisinage de 0~?
\end{itemize}

\tit{linper}

Cette macro d\'efinit un champ de vecteurs non lin\'eaire, perturb\'e du champ 
pr\'ec\'edent.
\medskip

\Mlinper

\centerline{{\sc Questions}}

\begin{itemize}
\item Taper la commande {\bf fchamp(linper,0,-5:1:5,-5:1:5)}. 
 Visualiser quelques trajectoires
gr\^ace \`a la commande {\bf portrait(linper)}.
\item Prendre la matrice {\bf alin}= $<0 \; 1 ; -1 \; 0 >$. 
Faire varier la perturbation en tapant une commande du
type  {\bf qeps}= $5e-02$. Quels sont les ph\'enom\`enes
observ\'es lorsque {\bf qeps} cro\^{\i}t~?
\end{itemize}

\tit{cycllim}

Cette macro d\'efinit un champ de vecteurs qui admet un cycle limite.
\medskip

\Mcycllim

\centerline{{\sc Questions}}

\begin{itemize}
\item Taper la commande {\bf fchamp(cycllim,0,-2:0.2:2,-2:0.2:2)}. 
 Visualiser quelques trajectoires
gr\^ace \`a la commande {\bf portrait(cycllim)}.
\item D\'ecrire les ph\'enom\`enes et les objets g\'eom\'etriques
observ\'es. Que se passe-t-il lorsque le point initial d'une
trajectoire est situ\'e sur le cercle limite~? Et en son voisinage~?
\item Changer le signe de {\bf qeps} et observer (on pourra prendre {\bf qeps =-0.5}, nombre de points=150 et pas=0.05). Que peut-on en d\'eduire
sur la robustesse du syst\`eme pour\\ {\bf qeps} $=0$~?
 
\end{itemize}

\section{deuxi\`eme partie : mod\`ele de bior\'eacteur }

\tit{part2}

En tapant la commande {\bf part2()}, vous chargez des valeurs par d\'efaut
pour les macros de la deuxi\`eme partie du T.D.
\medskip
\Mpartd

\tit{bioreact}

Cette macro d\'efinit un champ de vecteurs qui mod\'elise la dynamique
d'un bior\'eacteur.
\medskip

\Mbioreact
\medskip

\centerline{{\sc Questions}}

\begin{itemize}
\item Taper la commande {\bf fchamp(bioreact,0,0:0.2:4,0:0.2:4)}.  
Visualiser quelques trajectoires
gr\^ace \`a la commande {\bf portrait(bioreact)}.
\item Combien y a-t-il de points d'\'equilibre~?
Quelle est leur nature~? ( utiliser la macro {\bf tangent} pour obtenir le 
 syst\`eme lin\'earis\'e)
\item Changer progressivement la valeur du d\'ebit (commande)
et observer l'\'evolution des points d'\'equilibre.
\item V\'erifier th\'eoriquement ces r\'esultats.
\end{itemize}

\tit{mu}

Cette fonction intervient dans l'expression du champ {\bf bioreact}.
\medskip

\Mmu

\section{troisi\`eme partie : feedback lin\'eaire}

\tit{part3}

En tapant la commande {\bf part3()}, vous chargez des valeurs par d\'efaut
pour les macros de la troisi\`eme partie du T.D.
\medskip

\Mpartt

\tit{lincom}

Cette macro d\'efinit un syst\`eme lin\'eaire command\'e par
un feedback lin\'eaire d'\'etat $u=-K \star x$.
\medskip

\Mlincom

\begin{itemize}
\item Taper la commande {\bf fchamp(list(lincom,$<$0,0$>$),-5:1:5,-5:1:5)},
 pour visualiser le champ de vecteur original ( la notation {\bf list(lincom,k)} permet de sp\'ecifier une valeur de la matrice de gain k) . 
Quelle est la nature du point d'\'equilibre $0$~?
\item Changer la valeur du gain $K$ du feedback de sorte que le
point d'\'equilibre $0$ soit asymptotiquement stable. utilisez {\bf fchamp(lisp(lincom,k),\ldots)} et {\bf portrait(list(lincom,k))} pour la visualisation du champ et des portraits de phase.
\item Donner un moyen th\'eorique de trouver des matrices de gain
$K$ telles que $0$ soit un point asymptotiquement stable du syst\`eme
 lin\'eaire boucl\'e.
\item Reprendre les questions avec la matrice diagonale 
\[
	a =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)
\]
\end{itemize}

\end{document}
